Question

某服裝廠現有工人1000人，原來全部從事服裝生產，為了企業改革需要，準備將其部分人分流從事服務行業，經過調研發現，服裝生產的利潤y₁（百萬元）與服裝生產的工作人數x（百人）的關系為y₁=

- 1 2 (x-1)2+16…(0≤x≤8) (x-1)2-2…(8≤x≤10)

，從事服務行業的純利潤y₂ （百萬元）與從事服務行業人數t（百人）的關系y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

．服裝工廠總利潤w（百萬元）為兩種行業純利潤和．
（1）寫出y₂與x 的函數關系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）求出W與x的函數關系式；
（3）工廠如何安排工人數，才能使總利潤最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可得從事服務行業人數t=10-x（百人），又由從事服務行業的純利潤y₂ （百萬元）與從事服務行業人數t（百人）的關系y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

，將t=10-x代入，即可求得y₂與x 的函數關系式；
（2）由服裝工廠總利潤w（百萬元）為兩種行業純利潤和，分別從當0≤x≤6時，當6≤x≤8時與當8≤x≤10時去分析即可求得W與x的函數關系式；
（3）利用二次函數最值問題，分別求得當0≤x≤6時，當6≤x≤8時與當8≤x≤10時w的最大值，即可求得答案．

解答：解：（1）∵服裝廠現有工人1000人，即服裝廠現有工人10百人，
∴從事服務行業人數t=10-x（百人），
∵y₂=

4t-1…(0≤t≤4) -2t+23…(4≤t≤10)

．
∴y₂=

4(10-x)-1…(0≤10-x≤4) -2(10-x)+23…(4≤10-x≤10)

，
即y₂=

2x+3    (0≤x≤6) -4x+39  (6≤x≤10)

，
∴y₂與x 的函數關系式為：y₂=

2x+3    (0≤x≤6) -4x+39  (6≤x≤10)

；

（2）當0≤x≤6時，w=-

1

2

（x-1）²+16+2x+3=-

1

2

（x-3）²+23，
當6≤x≤8時，w=-

1

2

（x-1）²+16-4x+39=-

1

2

（x+3）²+59，
當8≤x≤10時，w=（x-1）²-2-4x+39=（x-3）²+29，
∴W與x的函數關系式為：w=

- 1 2 (x-3)2+23   (0≤x≤6) - 1 2 (x+3)2+59  (6≤x≤8) (x-3)2+29       (8≤x≤10)

；

（3）由（2）可得：①當0≤x≤6時，x=3時，w最大為23百萬元；
②當6≤x≤8時，
∵當x＞-3時，w隨x增大而減小，
∴當x=6時，w最大為18.5百萬元；
③當8≤x≤10時，
∵當x＞3時，w隨x增大而增大，
∴當x=10時，w最大為78百萬元；
∴1000人都從事服裝生產，獲得利潤最大．

點評：此題考查了二次函數的實際應用問題．此題難度較大，屬于分段函數，所以要注意分類討論思想的應用，注意理解題意，根據題意求得二次函數，利用二次函數的性質求解．