Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．

（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點的坐標；

（2）若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標；

（3）若點P是x軸上一個動點，過P作直線1∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點D的坐標為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時點P的坐標為(，)；（3）點Q的坐標為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．

【解析】

（1）先求出點C坐標，然后利用待定系數法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉化為頂點式即可求出D點的坐標；

（2）先根據待定系數法求出直線BD的解析式，設點P的橫坐標為p，然后根據S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關系式，再根據二次函數的性質解答即可；

（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設點P的坐標為(x，0)，當點Q在x軸上方時，則點Q的坐標為(x+1，3)，把點Q的坐標代入拋物線的解析式即可求出x，進而可得點Q坐標；當點Q在x軸下方時，則點Q的坐標為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．

（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點C，

∴點C(0，3)，

設直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．

∵點A(﹣1，0)，點C(0，3)，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為y=3x+3．

∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，

∴頂點D的坐標為(1，4)；

（2）設直線BD的解析式為y=kx+b．

∵點B(3，0)，點D(1，4)，

∴，得，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．

∵P為線段BD上的一個動點，

∴設點P的坐標為(p，﹣2p+6)．

∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，

∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，

∵1＜p＜3，

∴當p時，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點P的坐標為(，)；

（3）∵直線l∥AC，以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PQ∥AC且PQ=AC．

設點P的坐標為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，

當點Q在x軸上方時，則點Q的坐標為(x+1，3)，

此時，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，

解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，

∴點Q的坐標為(2，3)；

當點Q在x軸下方時，則點Q的坐標為(x﹣1，﹣3)，

此時，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，

整理得：x2﹣4x﹣3=0，

解得：x1=2，x2=2，

∴點Q的坐標為(1，﹣3)或(1，﹣3)，

綜上所述：點Q的坐標為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．