Question

【題目】已知△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若 = ，如圖1，．

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）設AE與DF相交于點M，如圖2，AF=2FC=4，求AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC為等腰三角形，

∵△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，

∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，

∵四邊形內角和為360°，

∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，

∵ = ，

∴∠EOF=∠DOE，

∴∠B=∠C，AB=AC，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）

解：連接OB、OC、OD、OF，如圖，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，

∴E是BC中點，BE=CE，

∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， ，

∴Rt△AOF≌Rt△AOD，

∴AF=AD，

同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，

Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，

∴AD=AF，BD=CF，

∴DF∥BC，

∴ = =，

∵AE= =4 ，

∴AM=4 × = ．

【解析】（1）易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，∠B=∠C，AB=AC，即可解題.
（2）連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，根據平行線所截線段成比例；再根據AE長度即可解題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和三角形的內切圓與內心的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．