Question

已知關于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0有兩個不相等的實數根
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為整數，且m＜3，a是方程的一個根，求代數式2a²-3a-3的值．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的定義知，二次項系數不為0，即m²-m≠0；然后根據根的判別式△=b²-4ac＞0列出關于m的不等式，根據這兩個不等式解答m的取值范圍；
（2）由（1）中m的取值范圍求出整數m的值，然后將其代入關于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0，得到關于一元二次方程的解析式，然后把a代入該方程，求出a值；最后將其代入所求的代數式并解答．

解答：解：（1）∵關于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0有兩個不相等的實數根，
∴

m2-m≠0 △=4m2-4(m2-m)＞0

，
解得，m＞0，且m≠1；
∴m的取值范圍是：m＞0，且m≠1；

（2）∵m為整數，m＜3，
由（1）知，m＞0，且m≠1；
∴m=2，
∴關于x的方程（m²-m）x²-2mx+1=0的解析式是：2x²-4x+1=0；
∵a是方程的一個根，
∴2a²-4a+1=0（或者2a²=4a-1），
解得，a=

2± 2

2

；
∴2a²-3a-3，
=4a-1-3a-3，
=a-4，
=

2± 2

2

-4，
=

-6± 2

2

．
即2a²-3a-3=

-6± 2

2

．

點評：本題主要考查了一元二次方程的解與根的判別式．解答此題的關鍵地方是根據（1）與（2）的m的取值范圍來確定整數m的值．