Question

如圖所示，等腰直角三角形△ABC的直角邊AB=2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相等的速度做直線運動，已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．
（1）設AP的長為x，△PCQ的面積為S，求出S關于x的函數關系式．
（2）當AP的長為何值時S_△PCQ=S_△ABC．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
當0≤x≤2時
S==-x²+x
當x＞2時，
S==x²-x，
∴S=；
（2）由題意，得
當-x²+x=2時，
△＜0，原方程無解；
x²-x=2時
解得：x₁=1+，x₂=1-（舍去）
∴AP=1+．
答：當AP=1+時，S_△PCQ=S_△ABC．
分析：（1）由條件可以得出AP=CQ，就有BQ=x+2，PB=2-x或x-2，分兩種情況討論，0≤x≤2，和x＞2時由三角形的面積公式及可以求出結論；
（2）先求出△ABC的面積，根據（1）的解析式分別建立方程求出其值即可．
點評：本題考查了二次函數的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出二次函數解析式是關鍵．