Question

如圖是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”．它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式中a按次數(shù)從大到小排列的項(xiàng)的系數(shù)。

例如，展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；

再如，展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字。

請認(rèn)真觀察此圖，寫出（a+b）⁴的展開式，（a+b）⁴=    ▲    ．

 

Answer 1

【答案】

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴。

【解析】由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各項(xiàng)展開式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于（a+b）^n﹣1的相鄰兩個系數(shù)的和，由此可得（a+b）⁴的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1。如圖：

∴（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴。