Question

（2011•三元區質檢）如圖甲，點C是線段AB的中點，DE⊥AC于點E，且DE=AE=EC，FC⊥CB于點G，且FG=CG=GB．
（1）求證：△DCF是等腰直角三角形；
（2）將圖甲中的AC繞點C逆時針旋轉一個銳角，點H是AB的中點，如圖乙所示．求證：△DHF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）先連接CD，CF，DF，由DE⊥AC，且DE=AE=EC，根據定義易證△DEC是等腰直角三角形，同理△FGC是等腰直角三角形，那么∠DCE=45°，∠FCG=45°，進而易求∠DCF=90°，根據DE=AE=EC，FG=CG=GB，且C是AB中點，易求DE=EC=FG=CG，利用SAS可證△DCE≌△FCG，從而可證△DCF是等腰直角三角形；
（2）先連接EH，GH，AD，CH，利用SAS易證△EAH≌△GBH，則有EH=GH，∠AEH=∠BGH，而∠AED=∠FGB=90°，結合周角概念易證∠DEH=∠FGH，再利用SAS可證△DEH≌△FGH，從而有HD=HF，通過已知條件可知△ACH是直角三角形，且EH是斜邊上的中線，那么AE=ED=EH，則有∠EAH=∠EHA，∠DHE=∠HDE，結合△AED是等腰直角三角形以及三角形內角和定理可求∠AHD=45°，同理可求∠BHF=45°，進而可求∠DHF=90°，那么可證△DHF是等腰直角三角形．

解答：證明：（1）如甲圖，連接CD，CF，DF，
∵DE⊥AC，且DE=AE=EC，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
同理有△FGC是等腰直角三角形，
∴∠FCG=45°，
∴∠DCF=180°-45°-45°=90°，
∵C是AB中點，
∴AC=BC，
又∵DE=AE=EC，FG=CG=GB，
∴DE=EC=FG=CG，
∵∠DEC=∠FCG=90°，
∴△DCE≌△FCG，
∴CD=CF，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（2）如乙圖，連接EH，GH，AD，CH，
∵AC=BC，DE=AE=EC，FG=CG=GB，
∴∠A=∠B，AE=BG=DE=FG，
又∵H是AB中點，
∴AH=BH，
∴△EAH≌△GBH，
∴EH=GH，∠AEH=∠BGH，
∵DE⊥AC，FC⊥CB，
∴∠AED=∠FGB=90°，
∴360°-∠AED-AEH=360°-∠FGB-∠BGH，
即∠DEH=∠FGH，
∴△DEH≌△FGH，
∴HE=HG，
∵CA=CB，H是AB中點，
∴CH⊥AB，
又∵AE=CE，
∴AE=ED=EH，
∴∠EAH=∠EHA，∠DHE=∠HDE，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴2∠EHA+2∠DHE+2×45°=180°，
∴∠EHA+∠DHE=45°，
即∠AHD=45°，
同理可求∠BHF=45°，
∴∠DHF=180°-45°-45°=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關鍵是注意證明兩邊相等，且兩邊的夾角也相等的三角形才是等腰直角三角形；（2）中關鍵是求∠AHD=45°．