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已知一個正三角形和一個正六邊形的周長相等，求它們的面積的比值．

解：設它們的周長是1．根據題意，得
正三角形的邊長是 $\text{[math]}$ ，正六邊形的邊長是 $\text{[math]}$ ．
則正三角形的邊心距是 $\text{[math]}$ ，正六邊形的邊心距是 $\text{[math]}$ ．
則正三角形的面積是 $\text{[math]}$ ，正六邊形的面積是 $\text{[math]}$ ．
則它們的面積比是2：3．
分析：根據正多邊形的面積等于周長與邊心距的乘積的一半，所以只需根據它們的周長計算其邊心距；在由正多邊形的半徑、邊心距和邊長組成的直角三角形中，根據銳角三角函數的概念可以分別求得它們的邊心距，再進一步計算其面積，從而得到其比值．
點評：熟悉正多邊形的面積公式：正多邊形的面積等于周長與邊心距的乘積的一半．能夠根據由半徑、邊心距和半邊組成的直角三角形，運用銳角三角函數進行計算．

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相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

26、如圖，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個頂點P放在射線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點C、D．

（1）如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？
（2）如圖②將正三角形繞P點轉過一角度，設兩邊與OA、OB分別交于C′，D′，那么線段PC′和PD′相等嗎？為什么？

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科目：初中數學 來源： 題型：

為了探究夾角為60°的V形架中放置正多邊形鋼板的穩定性問題（正多邊形的重心就是它的中心，重心越低越穩定），請按以下放置的方式進行計算和猜想：
（1）將一個邊長為 20cm的正三角形鋼板（用△ABC表示）按圖1，圖2，圖3，的三種方式進行放置．已知在圖3中，重心距地面的距離為

，請通過計算或證明說明，三種放法中，哪一種放法最穩定？

（2）若將（l）中的正三角形鋼板換成邊長為 20cm的正方形鋼板（如圖4，圖5，圖6）．已知在圖6中，重心距地面的距離約為23.7cm，請通過計算或證明說明，三種放法中，哪一種放法最穩定？（可能用到的數據：

≈1.4；

≈1.7；

≈2.4）

（3）通過上述計算，若將一個邊長為 20cm的正六邊形鋼板放置于架中（如圖7，圖8，圖9），你認為

的重心最低（只須填圖形的編號，不必計算）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

23、如圖，已知∠XOY=90°，正△PAB的頂點P與O點重合，頂點A是射線OX上的一個定點，另一頂點B在∠XOY的內部．
（1）當頂點P在射線OY上移動到點P₁時，連接AP₁，請用尺規作圖∠XOY內部作出以AP₁為邊的正三角形（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設AP₁交OB于點C，AB的延長線交B₁P₁于點D．求證：△ABC∽△AP₁D；
（3）連接BB₁，求∠ABB₁的度數．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（1）如圖1，是某市公園周圍街巷的示意圖，A點表示1街與2巷的十字路口，B點表示3街與5巷的十字路口，如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A點到B點的一條路徑，那么，你能同樣的方法寫出由A點到B點盡可能近的其他兩條路徑嗎？

（2）從正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形中任選兩種正多邊形鑲嵌，請全部寫出這兩種正多邊形．并從其中任選一種探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．
（3）如圖2所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個圖形中∠P（均為小于平角的角）與∠A，∠C的關系，請你從所得的四個關系中任選一個加以說明．
（4）閱讀材料：多邊形上或內部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形．如圖3給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形．
請你按照上述方法將圖4中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數以及求出每個圖形中的六邊形的內角和．試把這一結論推廣至n邊形，并推導出n邊形內角和的計算公式．

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科目：初中數學 來源：2011年沈陽招生中考數學試題 題型：解答題

如圖，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個頂點P放在射

線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點C、D．

(1)如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？

(2)如圖②將正三角形繞P點轉過一角度，設兩邊與OA、OB分別交于C'，D'，那么線段PC'

和PD'相等嗎？為什么？

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已知一個正三角形和一個正六邊形的周長相等，求它們的面積的比值．