Question

【題目】探索與發現

探索：如圖，在直角坐標系中，正方形ABCO的點B坐標（4，4），點A、C分別在y軸、x軸上，對角線AC上一動點E，連接BE，過E作DE⊥BE交OC于點D．

（1）證明：BE＝DE．

小明給出的思路為：過E作y軸的平行線交AB、x軸于點F、H．請完善小明的證明過程．

（2）若點D坐標為（3，0），則點E坐標為　 　．

若點D坐標為（a，0），則點E坐標為　 　．

發現：在直角坐標系中，點B坐標（5，3），點D坐標（3，0），找一點E，使得△BDE為等腰直角三角形，直接寫出點E坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點D坐標為（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）；點E坐標為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．

【解析】

（1）證出EH=BF，由ASA證明△BEF≌△EDH，得出BE=DE即可；
（2）連接OE，由正方形的對稱性質得：OE=BE，證出OE=DE，由等腰三角形的性質得出OH=DH=OD=1.5，由全等三角形的性質得出EF=DH=1.5，求出FH=OA=4，得出EH=2.5，得出點E的坐標為（1.5，2.5）；若點D坐標為（a，0），同理可得則點E坐標為（1.5a，2.5a）．
發現：分兩種情況：

①當BD為等腰直角三角形的直角邊長時，由全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質得出點E的坐標為（0，2）或（2，5）或（6，-2）或（8，1）；
②當BD為等腰直角三角形的斜邊長時，由全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質點E的坐標為（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCO是正方形，

∴AB∥OC，∠OAB＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠BAC＝∠OCA＝45°，OA∥BC，

∵FH∥AB，

∴FH∥OA，

∴FH⊥OC，∠HEC＝∠OAC＝45°＝∠OCA，∠BFH＝∠OAB＝90°，∠DHE＝∠AOC＝90°，

∴EH＝CH＝BF，

∵DE⊥BE，FH⊥AB，

∴由角的互余關系得：∠EBF＝∠DEH，

在△BEF和△EDH中，，

∴△BEF≌△EDH（ASA），

∴BE＝DE；

（2）解：連接OE，如圖1所示：

∵點D坐標為（3，0），

∴OD＝3，

由正方形的對稱性質得：OE＝BE，

∵BE＝DE，

∴OE＝DE，

∵FH⊥OC，

∴OH＝DH＝OD＝1.5，

∵△BEF≌△EDH，

∴EF＝DH＝1.5，

∵FH＝OA＝4，

∴EH＝4﹣1.5＝2.5，

∴點E的坐標為（1.5，2.5）；

若點D坐標為（a，0），同理可得，點E坐標為（0.5a，4﹣0.5a）；

故答案為：（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）．

發現：分兩種情況：

①當BD為等腰直角三角形的直角邊長時，

點E的坐標為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）；

②當BD為等腰直角三角形的斜邊長時，

點E的坐標為（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；

綜上所述：△BDE為等腰直角三角形，點E坐標為（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．