Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（Ⅰ）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（Ⅱ）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；
（Ⅲ）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+2x+6，
∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（Ⅱ）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，

設F（x，﹣ x2+2x+6），則FG=|﹣ x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴ = ，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6﹣x，
∴ = ，
當點F在x軸上方時，有 = ，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時F點的坐標為（﹣1， ）；
當點F在x軸下方時，有 =﹣ ，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時F點的坐標為（﹣3，﹣ ）；
綜上可知F點的坐標為（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）；
（Ⅲ）如圖2，設對稱軸MN、PQ交于點O′，

∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，
設Q（2，2n），則M坐標為（2﹣n，n），
∵點M在拋物線y=﹣ x2+2x+6的圖象上，
∴n=﹣ （2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣ ，
∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別為（2，﹣2+2 ）或（2，﹣2﹣2 ）．
【解析】（Ⅰ）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；
（Ⅱ）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；
（Ⅲ）由于M、N兩點關于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設出Q點的坐標，則可表示出M的坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．