Question

【題目】已知△ABC中，點O是邊AC上的一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF．

（2）試確定點O在邊AC上的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．

（3）在（2）的條件下，且△ABC滿足 ____________時，矩形AECF是正方形．

Answer 1

【答案】∠BAC=90°

【解析】分析：（1）由平行線的性質和角平分線的性質，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

（2）當O點運動到AC的中點時，四邊形AECF為矩形，根據矩形的判定定理（對角線相等且互相平分的四邊形為矩形），結合（1）所推出的結論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；

（3）當△ABC是直角三角形時，四邊形AECF是正方形，根據（2）所推出的結論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結論．

詳解：（1）∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE=∠BCE．

∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠ACE=∠FEC，∴OE=OC，

同理可證OF=OC，

∴OE=OF；

（2）當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

∵OA=OC，OE=OF，∴四邊形AECF平行四邊形．

∵OE=OC，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，

∴平行四邊形AECF是矩形；

（3）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形．理由如下：

∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO．

又∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四邊形AECF是矩形．

∵MN∥BC，當∠ACB=90°，則∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形；

故答案為：∠ACB=90°．