Question

【題目】【觀察發現】

如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，且點E在邊AB上，連接DE和BG，猜想線段DE與BG的數量關系，以及直線DE與直線BG的位置關系．（只要求寫出結論，不必說出理由）

【深入探究】

如圖2，將圖1中正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定的角度，其他條件與觀察發現中的條件相同，觀察發現中的結論是否還成立？請根據圖2加以說明．

【拓展應用】

如圖3，直線l上有兩個動點A、B，直線l外有一點O，連接OA，OB，OA，OB長分別為、4，以線段AB為邊在l的另一側作正方形ABCD，連接OD．隨著動點A、B的移動，線段OD的長也會發生變化，在變化過程中，線段OD的長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】【觀察發現】DE=BG，DE⊥BG；【深入探究】仍然成立，理由見解析；【拓展應用】最大值為8；

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關系；

（2）結合正方形的性質，根據SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結論；

（3）以OA為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OC=OA=4，當G、O、B三點共線時，BG最長，此時BG=OC+OB=4+4=8，從而確定正確的答案．

解：【觀察發現】：DE=BG，DE⊥BG；

【深入探究】：【觀察發現】中的結論仍然成立，即DE=BG，DE⊥BG；

理由：∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，

∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAG=∠DAE（1分），

∵在△BAG與△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴BG=DE，∠ABG=∠ADE，

設線段DE分別與BG、AB相交于點P、Q兩點，

由∠BAD=90°得∠ADE+∠AQD=90°，

∴∠ABG+∠PQB=90°，

∴∠BPQ=90°，

即DE⊥BG；

【拓展應用】以OA為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OG=OA=4，

由【深入探究】可得OD=BG，

當G、O、B三點共線時，BG最長，此時BG=OG+OB=4+4=8，

即線段OD長的最大值為8．