Question

29、一般地，學習幾何要從作圖開始，再觀察圖形，根據圖形的某一類共同特征對圖形進行分類（即給一類圖形下定義--定義概念便于歸類、交流與表達），然后繼續研究圖形的其它特征、判定方法以及圖形的組合、圖形之間的關系、圖形的計算等問題．課本里對四邊形的研究即遵循著上面的思路．當然，在學習幾何的不同階段，可能研究的是幾何的部分問題．比如有下面的問題，請你研究．已知：四邊形ABCD中，AB=DC，且∠ACB=∠DBC．
（1）借助網格畫出四邊形ABCD所有可能的形狀；
（2）簡要說明在什么情況下四邊形ABCD具有所畫的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據題中的描述可知這個圖形是矩形或等腰梯形．
（2）這就要根據圖形和矩形，梯形的性質來分析，要分三種情況來分析．即是∠BAC是直角，銳角，鈍角時的情況．

解答：解：
（1）四邊形可能的形狀有三類：圖①“矩形”、圖②“等腰梯形”、圖③的“四邊形ABCD₁”．
注1：畫出“矩形”或“等腰梯形”，各給（1分）；畫出另一類圖形（后兩種可以看作一類），給（2分）；
等腰梯形不單獨畫而在后兩種圖中反映的，不扣分；畫圖順序不同但答案正確不扣分．

注2：如果在類似圖③或圖④的圖中畫出凹四邊形，同樣給分（兩種都畫，只給一種的分）．

（2）①若∠BAC是直角（圖②），則四邊形為等腰梯形；（6分）
②若∠BAC是銳角（圖③），存在兩個點D和D₁，得到等腰梯形ABCD和符合條件但不是梯形的四邊形ABCD₁；（8分）
其中，若∠BAC是直角（圖①），則四邊形為矩形．（9分）
③若∠BAC是鈍角（圖④），存在兩個點D和D₁，得到等腰梯形ABCD和符合條件但不是梯形的四邊形ABCD₁．（11分）
注：可用AC與BD或者∠BAC與∠CDB是否相等分類；只畫矩形和等腰梯形并進行說明可給（4分）．

點評：本題主要考查了復雜作圖，具有一定的難度，學生作圖時一定要根據圖形性質和要求畫圖．