Question

【題目】如圖所示，已知AB是圓O的直徑，圓O過BC的中點D，且DE⊥AC．

（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵D是BC的中點，O為AB的中點，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE是圓O的切線

（2）解：連接AD；

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ADB=90°=∠ADC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C=30°，CD=10，

∴AD= ．

∵OD∥AC，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴△OAD是等邊三角形，

∴OD=AD= ，

∴圓O的半徑為 cm．

【解析】（1）連接OD，利用三角形的中位線定理可得出OD∥AC，再利用平行線的性質就可證明DE是圓O的切線．（2）利用30°特殊角度，可求出AD的長，由兩直線平行同位角相等，可得出∠ODB=∠C=30°，從而△ABD為直角三角形，圓O的半徑可求．