Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1）-（3）題
數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖， 中，，點P為邊AB上一點（不與A、B重合），過P作于Q，做QE∥AB交BC于點E，連接PE，將線段PE繞點P順時針旋轉90°到PF，連接QF，探究線段之間的數量關系并證明．
同學們經過思考后，交流了自已的想法
小明：“通過觀察和度量，發現為直角．”
小偉：“我通過一線三直角的模型構造三角形全等可以解決問題．”
小強：“我構造等腰直角三角形，再利用全等三角形可以解決問題．”
老師：“若其他條件不變，PE=AC，就可以求出的值．”
（1）多少度？四邊形為什么特殊四邊形？（直接寫出答案）
（2）探究線段之間的數量關系并證明；
（3）若其他條件不變，PE=AC，求的值．

Answer 1

【答案】1）45°，平行四邊形；（2）PA=QF+QE．證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）四邊形PQEB是平行四邊形．根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明．
（2）結論：PA=QF+QE．如圖1中，連接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延長線于G．證明△GPF≌△QPE（SAS）即可解決問題．
（3）如圖2中，作PG⊥BC于G．則四邊形PGCQ是矩形，設CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b，想辦法求出PB，AB（用b表示即可）．

（1）如圖1中，

∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=90°-∠A=45°，
∵QE∥AB，
∴∠PQE=∠APQ=45°．
∵∠AQB=∠C=90°，
∴PQ∥BC，
∵QE∥AB，
∴四邊形PQEB是平行四邊形．
（2）結論：PA=QF+QE．
理由：如圖1中，連接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延長線于G．
∵PF=PE，∠EPF=90°，
∴∠PFO=∠PEO=45°=∠OQE，
∵∠FOP=∠QOE，
∴△FOP∽△QOE，
∴，
∴，

∵∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴∠FQO=∠PEO=45°，
∴∠G=∠PQG=45°，
∴PG=PQ，
∵∠GPQ=∠FPE=90°，
∴∠GPF=∠QPE，∵PF=PE，
∴△GPF≌△QPE（SAS），
∴GF=QE，
∴QF+QE=QF+FG=GQ=PQ，
∵PA=PQ，
∴QF+QE=PA．
（3）如圖2中，作PG⊥BC于G．則四邊形PGCQ是矩形，

由（2）可知∠EQC=45°，
∴CQ=EC=PG=BG，設CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b，
∴EG=b-a，
∵PE=（a+b），
在Rt△PEG中，∵PE2=PG2+GE2，
∴（a+b）2=a2+（b-a）2，
整理得：7a2-10ab+3b2=0，
∴（a-b）（7a-3b）=0，
∴a=b或a=b，
當a=b時，易證PA=PB，此時，
當a=b時，PB=a=b，AB=（a+b）= b，
∴ ．
綜上所述，的值為或．