Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1，0），P是第一象限內任意一點，連接PO，PA，若∠POA=m°，∠PAO=n°，則我們把（m°，n°）叫做點P 的“雙角坐標”．例如，點（1，1）的“雙角坐標”為（45°，90°）．
（1）點（ ， ）的“雙角坐標”為；
（2）若點P到x軸的距離為 ，則m+n的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（60°，60°）
（2）90
【解析】解：（1）∵P（ ， ），OA=1， ∴tan∠POA= = ，tan∠PAO= = ，
∴∠POA=60°，∠PAO=60°，
即點P的“雙角坐標”為（60°，60°），
故答案為：（60°，60°）；
⑵根據三角形內角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，如圖，

∵點P到x軸的距離為 ，OA=1，
∴OA中點為圓心， 為半徑畫圓，與直線y= 相切于點P，
在直線y= 上任取一點P′，連接P′O、P′A，P′O交圓于點Q，
∵∠OPA=∠1＞∠OP′A，
此時∠OPA最大，∠OPA=90°，
∴m+n的最小值為90，
故答案為：90．
（1）分別求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度數，從而得出答案；（2）根據三角形內角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，OA中點為圓心， 為半徑畫圓，與直線y= 相切于點P，由∠OPA=∠1＞∠OP′A知此時∠OPA最大，∠OPA=90°，即可得出答案．