Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，點D是AB的中點.

（1）如圖1，若點E、F分別是AC、BC上的點，且AE=CF，請判別△DEF的形狀，并說明理由；

（2）若點E、F分別是CA、BC延長線上的點，且AE=CF，則（1）中的結論是否仍然成立？請

說明理由.

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等腰直角三角形. （2）仍然成立.

【解析】試題分析：

（1）連接CD，如圖1，結合已知條件易證△AED≌△CFD，由此即可證得DE=DF，∠EDF=90°，從而可得△DEF是等腰直角三角形；

（2）先根據題意畫出符合要求的圖形，如圖2，連接CD，結合已知條件易證△AED≌△CFD，由此即可證得；DE=DF，∠EDF=90°，從而可得此時△DEF仍然是等腰直角三角形.

試題解析：

（1）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：

如圖1，連接CD，

∵AC=BC，∠ACB=90°，點D是BC邊的中點，

∴CD⊥BC，∠A=∠DCF=45°，CD=BC=AD，

又∵AE=CF，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵CD⊥BC，

∴∠CFD+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠CDA=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）如圖2，（1）中結論仍然成立，理由如下：

連接CD，∵AC=BC，∠ACB=90°，點D是BC邊的中點，

∴CD⊥BC，∠A=∠DCB=45°，CD=BC=AD，

∴∠EAD=180°+45°=135°，∠ACD=180°-45°=135°，

又∵AE=CF，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵CD⊥BC，

∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠CDA=90°，即∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；