Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB＝，BD＝2，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE＝2．

【解析】

（1）先判斷出∠OAB=∠DCA，進而判斷出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出結論；
（2）先判斷出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出結論．

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD＝AB，

∴ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝2，

∴OB＝BD＝1，

在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，

∴OA＝＝2，

∴OE＝OA＝2．