Question

如圖①，我們在“格點”直角坐標系上可以清楚看到：要找AB或DE的長度，顯然是轉化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長．

下面：以求DE為例來說明如何解決：
從坐標系中發現：D（-7，5），E（4，-3）．所以DF=|5-（-3）|=8，EF=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理可得：DE=

82+112

=

185

．
下面請你參與：
（1）在圖①中：AC=

4

，BC=

3

，AB=

5

．
（2）在圖②中：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），試用x₁，x₂，y₁，y₂表示AC=

y₁-y₂

，BC=

x₁-x₂

，AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．
（3）（2）中得出的結論被稱為“平面直角坐標系中兩點間距離公式”，請用此公式解決如下題目：
已知：A（2，1），B（4，3），C為坐標軸上的點，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請求出C點的坐標．

Answer 1

分析：（1）結合坐標系即可得出AC、BC的長度，利用勾股定理可得出AB的長度；
（2）結合坐標系及各點坐標即可得出各線段的長度．
（3）設點C的坐標為（x，0）或（y，0），依次求出即可得出答案．

解答：解：（1）AC=4，BC=3，AB=

AC2+BC2

=5；

（2）結合圖形可得：AC=y₁-y₂，BC=x₁-x₂，AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．

（3）若點C在x軸上，設點C的坐標為（x，0），
則AC=BC，即

(2-x)2+(1-0)2

=

(4-x)2+(3-0)2

，
解得：x=5，
即點C的坐標為（5，0）；
若點C在y軸上，設點C的坐標為（0，y），
則AC=BC，即

(2-0)2+(1-y)2

=

(4-0)2+(3-y)2

，
解得：y=5，
即點C的坐標為（0，5）．
綜上可得點C的坐標為（5，0）或（0，5）．
故答案為：4，3，5；y₁-y₂，x₁-x₂，A

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．

點評：本題考查了勾股定理及兩點間的距離公式，看似難度較大，其實不然，注意仔細審題，領悟題意．