Question

【題目】如圖，的直徑為，弦為，、分別是的平分線與，的交點，為延長線上一點，且．

求、的長；

試判斷直線與的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；直線與相切，理由詳見解析．

【解析】

（1）連接BD，利用直徑所對的圓周角是直角得兩個直角三角形，再由角平分線得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所對的圓周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角邊AD=5，AC的長也是利用勾股定理列式求得；

（2）連接半徑OC，證明垂直即可；利用直角三角形中一直角邊是斜邊的一半得：這條直角邊所對的銳角為30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度數，最后求得∠OCP=90°，結論得出.

解:（1）連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°'，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCB=45°，

∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∵AB=10，

∴AD=BD==5，

在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，

∴AC==5，

∴，；

直線與相切，理由是：

連接，

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴直線與相切．