Question

某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品．已知每件產品的進價為40元，每年銷售該種產品的總開支（不含進價）總計120萬元．在銷售過程中發現，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間存在著如圖所示的一次函數關系．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）試寫出該公司銷售該種產品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數關系式（年獲利=年銷售額一年銷售產品總進價一年總開支）．當銷售單價x為何值時，年獲利最大并求這個最大值；
（3）若公司希望該種產品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助（2）中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？

Answer 1

（1）設y=kx+b，它過點（60，5），（80，4），

5=60k+b 4=80k+b

，
解得：

k=- 1 20 b=8

，（2分）
∴y=-

1

20

x+8；（3分）

（2）z=yx-40y-120=（-

1

20

x+8）（x-40）-120=-

1

20

x²+10x-440
∴當x=100元時，最大年獲利為60萬元；（6分）

（3）令z=40，得40=-

1

20

x²+10x-440，
整理得：x²-200x+9600=0，
解得：x₁=80，x₂=120，（8分）
由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間，（9分）
又因為銷售單價越低，銷售量越大，
所以要使銷售量最大，且年獲利不低于40萬元，銷售單價應定為80元．（10分）