Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D是拋物線的頂點(diǎn)，E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式，并在﹣4≤x≤2范圍內(nèi)畫(huà)出此拋物線的草圖；

（2）若點(diǎn)F和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OF交拋物線于點(diǎn)Q，是否存在以點(diǎn)O、F、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．

【解析】：試題分析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)帶入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求得二次函數(shù)解析式，以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。進(jìn)而畫(huà)出在﹣4≤x≤2范圍內(nèi)此拋物線的草圖，可運(yùn)用描點(diǎn)法畫(huà)。（2）若存在以點(diǎn)O、F、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，則F、Q縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等。點(diǎn)F 的坐標(biāo)已知，可分情況討論，求點(diǎn)Q坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)。

試題解析：解：（1）根據(jù)題意得： ，解得： ，

∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

當(dāng)x=﹣=﹣1時(shí)，y=4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．

此拋物線的草圖如圖所示

（2）若以O、F、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形存在，

則點(diǎn)Q（x，y）必須滿足|y|=|EF|=4．

①當(dāng)y=﹣4時(shí)，﹣x2﹣2x+3=﹣4，

解得，x=﹣1±2，

∴Q1（﹣1﹣2，﹣4），Q2（﹣1+2，﹣4）

∴P1（﹣2，0），P2（2，0）．

②當(dāng)y=4時(shí)，﹣x2﹣2x+3=4，

解得，x=﹣1，

∴Q3（﹣1，4），

∴P3（﹣2，0），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)有三個(gè)即：

P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．