Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，AB＞AC，點D，E分別在邊AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，則的值是　 　；

（2）如圖2，在（1）的條件下，將△ADE繞點A逆時針方向旋轉一定的角度，連接CE和BD，的值變化嗎？若變化，請說明理由；若不變化，請求出不變的值；

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC于點C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，當CD＝6，AD＝3時，請直接寫出線段BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值不變化，值為，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由平行線分線段成比例定理即可得出答案；

（2）證明△ABD∽△ACE，得出＝＝

（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，則DM＝CN，DN＝MC，由三角函數定義得出＝，＝，得出＝，求出AE＝AD＝，DE＝AE＝，得出CE＝CD﹣DE＝，由勾股定理得出AC＝＝，得出BC＝AC＝

，由面積法求出CN＝DM＝，得出BN＝BC+CN＝，由勾股定理得出AM＝＝，得出DN＝MC＝AM+AC＝，再由勾股定理即可得出答案．

（1）∵DE∥BC，

∴＝＝＝；

故答案為：；

（2）的值不變化，值為；理由如下：

由（1）得：DE∥B，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，

由旋轉的性質得：∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝＝；

（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如圖3所示：

則四邊形DMCN是矩形，

∴DM＝CN，DN＝MC，

∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，

∴＝，＝，

∴＝，

∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，

∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，

∴AC＝＝＝

∴BC＝AC＝，

∵△ACD的面積＝AC×DM＝CD×AE，

∴CN＝DM＝＝，

∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，

∴DN＝MC＝AM+AC＝，

∴BD＝＝＝．