Question

【題目】如圖，在的直角三角形中，，是直角邊所在直線上的一個動點，連接，將繞點逆時針旋轉到，連接，．

（1）如圖①，當點恰好在線段上時，請判斷線段和的數量關系，并結合圖①證明你的結論；

（2）當點不在直線上時，如圖②、圖③，其他條件不變，（1）中結論是否成立？若成立，請結合圖②、圖③選擇一個給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）圖②、圖③結論成立，證明見解析．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質以及等腰三角形的判定解答即可；

（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，結合直角三角形中30度的角所對的直角邊是斜邊的一半解決問題；

（1）．

證明如下：

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）圖②、圖③結論成立．

圖②證明如下：

如圖②，過點作，垂足為．

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

又，，

∴，

∴

在中，，

∴，

∴，

∴．

∵為等邊三角形，，

∴．

圖③證明如下：

如圖③，過點作，垂足為．

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

又，，

∴，

∴

在中，，

∴，

∴，

∴．

∵為等邊三角形，，

∴．