Question

【題目】如圖，在中, ,將直角三角板的直角頂點與邊的中點重合，直角三角板繞著點旋轉，兩條直角邊分別交邊于,則的最小值是____.

Answer 1

【答案】2

【解析】

當PM=PN時，MN的值最小，過P點作PD⊥AB于點D，先證明△APD∽△ABC，再得到，再代入值，求得PD＝，從而得到MN的值．

∵∠C=90°，AC=10，BC=5，
∴AB=，
∵（PM-PN）2≥0，當PM=PN時，（PM-PN）2值最小為0，
∴MN2=PM2+PN2≥2PMPN，
當PM=PN時，PM2+PN2有最小值為2PMPN，
∴MN為最小值時，PM=PN，
過P點作PD⊥AB于點D，如圖所示，

則MN=2PD，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°，
∴△APD∽△ABC，
∴，即，
∴PD=，
∴MN=2PD=2．

故答案是：2.