Question

閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：
sin30°=，cos30°=，則sin²30°+cos²30°=______；①
sin45°=，cos45°=，則sin²45°+cos²45°=______；②
sin60°=，cos60°=，則sin²60°+cos²60°=______．③
…
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=______．④
（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；
（2）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．

Answer 1

解：∵sin30°=，cos30°=，
∴sin²30°+cos²30°=（）²+（）²=+=1；①
∵sin45°=，cos45°=，
∴sin²45°+cos²45°=（）²+（）²=+=1；②
∵sin60°=，cos60°=，
∴sin²60°+cos²60°=（）²+（）²=+=1．③
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1．④
（1）如圖，過點B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．
∵sinA=，cosA=，
∴sin²A+cos²A=（）²+（）²=，
∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，
∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinA=，sin²A+cos²A=1，∠A為銳角，
∴cosA==．
分析：①②③將特殊角的三角函數值代入計算即可求出其值；
④由前面①②③的結論，即可猜想出：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1；
（1）過點B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．利用銳角三角函數的定義得出sinA=，cosA=，則sin²A+cos²A=，再根據勾股定理得到BD²+AD²=AB²，從而證明sin²A+cos²A=1；
（2）利用關系式sin²A+cos²A=1，結合已知條件cosA＞0且sinA=，進行求解．
點評：本題考查了同角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單．