Question

【題目】如圖，AB 是⊙M 的直徑，BC 是⊙M 的切線，切點為 B，C 是 BC 上（除 B 點外）的任意一點，連接 CM 交⊙M 于點 G，過點 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延長線于點 D，連接 AG 并延長交 BC 于點 E．

（1）求證：△ABE∽△BCD；

（2）若 MB=BE=1，求 CD 的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=

【解析】

（1）根據直徑所對圓周角是直角和切線的性質，即可證明三角形相似；

（2）利用勾股定理和面積法得到 AG、GE，根據三角形相似求得 GH，得到 MB、GH 和 CD 的數量關系，求得 CD的長即可．

（1）∵BC 為⊙M 切線，

∴∠ABC=90°，

∵DC⊥BC，

∴∠BCD=90°，

∴∠ABC=∠BCD，

∵AB 是⊙M 的直徑，

∴∠AGB=90°，

即：BG⊥AE，

∴∠CBD=∠A，

∴△ABE∽△BCD；

（2）過點 G 作 GH⊥BC 于 H，

∵MB=BE=1∴AB=2，

∴AE=，

由（1）根據面積法 ABBE=BGAE，

∴BG=，

由勾股定理：AG=，GE=，

∵GH∥AB，

∴，

∴，

∴GH=，

又∵GH∥AB，

∴① ，

同理：②，

①+②，得 ，

∴ ，

∴CD=.