Question

【題目】如圖，點D、E、F分別在正三角形ABC的三邊上，且△DEF也是正三角形，若△ABC的邊長為a，△DEF的邊長為b．則△AEF的內切圓半徑為 ．

Answer 1

【答案】 （a﹣b）
【解析】解：如圖，由于△ABC，△DEF都為正三角形， ∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可證：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
設M是△AEF的內心，MH⊥AE于H，
則AH= （AE+AF﹣EF）= （a﹣b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AHtan30°= （a﹣b） = （a﹣b）．
所以答案是： （a﹣b）．

【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和三角形的內切圓與內心的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能正確解答此題．