Question

【題目】如圖，在中，，以為邊作等邊，連接.

（1）如圖1，若，求的面積；

（2）如圖2，若，點為中點，連接，且，延長至點，連接，使得，求證：；

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）延長BC，作DE⊥BC，根據直角三角形的性質得出AC=2，BC=，然后根據等邊三角形的性質即可得出△BCD的高，即可得出其面積；

（2）延長AB到G使AG=AB，易△ADG△ACF，∠G=∠F=30°，AE是中位線，可得AE∥GD，得∠CFA=90°，AE=DG=CF，再證CH＝CF，得CE=AH，可得四邊形AECH是矩形，CE=AH，HF=AE即可.

（1）延長BC，作DE⊥BC于點E，如圖所示：

∵，

∴AC=2，BC=

又∵等邊，DE⊥BC

∴AC=CD=AD=2，∠DCE=30°

∴DE=1

∴

故答案為；

（2）延長BA到G，使得AB=AG，連接DG，作CH⊥AF于H，如圖所示：

∵，，AB=AG

∴AB=AF=AG，∠BAF=120°

∴∠GAF=60°

∵等邊

∴∠CAD=60°，AC=AD，

∴∠CAF=∠DAG

∴△ACF≌△ADG（SAS）

∴DG=CF，∠AGD=∠AFC=30°

又∵點為中點，AB=AG，

∴，∠BAE=∠AGD=30°

∴∠EAF=90°

又∵CH⊥AF，

∴，

∴，

∵

∴四邊形AECH為矩形

∴AH=CE

∴

即可得證.