Question

（2010•盧灣區二模）數學課上，張老師出示了問題1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC=1，對角線交點記作O，點E是邊BC延長線上一點．連接OE交CD邊于F，設CE=x，CF=y，求y關于x的函數解析式及其定義域．
（1）經過思考，小明認為可以通過添加輔助線--過點O作OM⊥BC，垂足為M求解．你認為這個想法可行嗎？請寫出問題1的答案及相應的推導過程；
（2）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”改為“四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3，CD=2，”其余條件不變（如圖2），請直接寫出條件改變后的函數解析式；
（3）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”進一步改為：“四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c為常量）”其余條件不變（如圖3），請你寫出條件再次改變后y關于x的函數解析式以及相應的推導過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易證得OM∥DC，由平行線分線段成比例定理即可求得y關于x的函數解析式；
（2）作OM∥CD交BC于點M，利用（1）中的方法，即可求得y關于x的函數解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于點N，由平行線分線段成比例定理即可求得y關于x的函數解析式．
解答：解：（1）如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=DC=，CM=BC=．
∵OM∥DC，
∴，
即，
解得．定義域為x＞0．

（2）（x＞0）．

（3）如右圖：
AD∥BC，，．
過點O作ON∥CD，交BC于點N，
∴，
∴．
∵ON∥CD，，
∴，
∴．
∵ON∥CD，
∴，即．
∴y關于x的函數解析式為（x＞0）．
點評：此題考查了平行線分線段成比例定理．此題的圖形變化比較多，難度較大，解題的關鍵是注意識圖，準確應用數形結合思想解題．