Question

（2009•臨沂）如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線經過A（4，0），B（1，0），可設拋物線解析式的交點式，再把C（0，-2）代入即可；
（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M為頂點的三角形與其相似，由于點P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，分別用相似比解答；
（3）過D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運用代數式的變形求最大值．
解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+x-2．

（2）存在．
如圖，設P點的橫坐標為m，
則點P的縱坐標為，
當1＜m＜4時，
AM=4-m，PM=，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當==2時，△APM∽△ACO，
∴=2，即|4-m|=2（），
∴4-m=m²+5m-4，
∴m²-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去）
∴P（2，1）
②當，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=，
∴2（4-m）=-m²+m-2，
∴m²-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m₁=4（舍去），m₂=5（舍去），
∴當1＜m＜4時，P（2，1），
類似地可求出當m＞4時，P（5，-2），
當m＜1時，P（-3，-14），
當P，C重合時，△APM≌△ACO，P（0，-2）．
綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；

（3）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-t²+t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2．
∴E點的坐標為（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DAC=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當t=2時，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．
點評：本題綜合考查了拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問題，坐標系里表示三角形的面積及其最大值問題，要求會用字母代替長度，坐標，會對代數式進行合理變形．