Question

D是△ABC的BC邊上一動點（B、C點除外），作△ABC的外接圓，點E在劣弧

BC

上．
（1）當AD為△ABC的高，且AE經過圓心時（如圖）．求證：AB•AC=AE•AD；
（2）當AD與BC不垂直，且AE不過圓心時，要使（1）中的結論成立，還需增加一個什么條件？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）連接BE，證明Rt△ABE∽Rt△ADC，利用相似比證明結論；
（2）添加條件，必須使△ABE∽△ADC，連接BE得∠E=∠BCA，還需要添加角的一個條件即可，本題答案不唯一．

解答：（1）證明：連接BE，∵AE為直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，∠ACD=∠AEB，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴

AB

AD

=

AE

AC

，
∴AB•AC=AE•AD；

（2）要使AB•AC=AE•AD成立，
須增加條件∴∠BAE=∠CAD．
此時的圖形有兩種情況，
如圖a、圖b，在圖a中連接BE，
可得△ABE∽△ADC，推得
AB•AC=AE•AD，
圖b中同理可得．
（增加條件為∠CAE=∠BAD也正確）

點評：本題考查了圓中相似三角形的判定與性質，圓周角定理．關鍵是利用圓周角相等找三角形相似的條件．