Question

【題目】如圖，半徑為3的⊙O分別與x軸，y軸交于A，D兩點(diǎn)，⊙O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，使∠BAC＝45°恒成立，設(shè)△ABC的重心為G，則DG的最小值是_______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，由三角形ABC的重心為G，可知F為BC的中點(diǎn)，再由垂徑定理可知OF⊥BC，從而可求得OF的長(zhǎng)；在AO上取點(diǎn)E，使AE=2EO，連接GE，可判定三角形AGE相似于三角形AFO，由相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求得GE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)G在以E為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知DG的最小值為DE的長(zhǎng)減去，計(jì)算即可.

解：連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F.

∵△ABC的重心為G

∴F為BC的中點(diǎn)，

∴OF⊥BC，

∵∠BAC=45°

∴BOF=45°

∴OBF=45°

∴OF=BF=FC=

∵△ABC的重心為G，

∴AG=AF.

在AO上取點(diǎn)E，使AE=AO，連接GE，

∴E（1，0）

∵.

∴△AGE∽△AFO，

∴

∴GE=

∴G在以E為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)

∴DE=

∴DG的最小值為．