Question

【題目】如圖中，，P是斜邊AC上一個動點，以即為直徑作交BC于點D，與AC的另一個交點E，連接DE．

（1）當時，

①若，求的度數；

②求證；

（2）當，時，

①是含存在點P，使得是等腰三角形，若存在求出所有符合條件的CP的長；

②以D為端點過P作射線DH，作點O關于DE的對稱點Q恰好落在內，則CP的取值范圍為________．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①40°；②詳見解析；（2）①7，10，12.5；②

【解析】

（1）①由BP是直徑可得，根據得 并可得， ，，根據三角形的內角和定理得；②由，得到，根據，，，得到，由等角對等邊得；

（2）①分三種情況：（一）當時，（二）當時，（三）當時，分別進行討論求解即可；

②分三種情況討論：（一）當Q點在P點上時；（二）當Q點在PC上時（三）當Q點在PH上時，分別討論，求出CP的值即可.

24．解（1）①連結BE，∵BP是直徑∴

∵，∴

∵，∴∴

∴

②∵，∴

，

又∵

∴

∴

（2）①由，，可以求得，，

∴，，

∵，

∴

當是等腰三角形時，有三種情況：（一），（二），（三）

（一）當時，

∴，

∴

∴

（二）當時，可知點D是斜邊的中線，

∴，

∴

∴

（三）當時，

作，則H是BD中點，

可以求得，∴

∴，∴

②（一）當O點的對稱點Q在P點上時，B，O，Q三點共線，

如圖示

∴,且BP平分DE，由等腰三角形的性質可知

∴

由（1）可知CP=7；

（二）當O點的對稱點Q不在P點上，而在PC上時，此情況Q點并不在上

（三）當O點的對稱點Q不在P點上，而在PH上時，B，O，Q三點不共線，

如圖示

∵，，且

∴四邊形DOEQ是菱形，

∴

∵

∴

又∵OE，OD，OB均為外接圓的半徑，

∴，

∴

∴

∴

∴由（1）可知，

∴