Question

【題目】已知a，b，c為正數，滿足如下兩個條件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角．

Answer 1

【答案】解法1：將①②兩式相乘，得 ，
即： ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以 ， ， 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°．
解法2：結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得 ，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
結合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以 ， ， 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°．
【解析】解法一：根據已知，將兩式相乘，運用平方差公式、完全平方式、提取公因式將乘積分解為 ．再根據每個因式都可能等于零，及勾股定理，判斷三角形為直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：將①式變形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判斷三角形的為直角三角形．最大角度也就是90°．本題考查因式分解的應用．解決本題的關鍵是運用因式分解、等式變形求出a、b、c三角形三邊的關系
【考點精析】利用勾股定理的逆定理和因式分解的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；因式分解是整式乘法的逆向變形，可以應用與數字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程．