Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）與x軸交于AB兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C．

（1）當(dāng)m≠﹣4時(shí)，說(shuō)明這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若OAOB＝6，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上找一點(diǎn)P，使S△PAC的面積為15，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，﹣14）或（2，0）．

【解析】

（1）當(dāng)m≠﹣4時(shí)，先得出判別式大于零，再判斷出這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）根據(jù)拋物線y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．

（3）可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣a+6），根據(jù)S△PAC的面積為15，分P在y軸左邊或右邊兩種情況討論，列出方程可求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵m≠﹣4，

∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，

∴當(dāng)m≠﹣4時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，

解得x1＝m+1，x2＝﹣3，

∵二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）與x軸交于AB兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，

∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，

∵OAOB＝6，

∴3（m+1）＝6，

解得m＝1，

∴二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+6，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣a+6），

如圖一所示，

當(dāng)P在y軸左邊時(shí)，,并且有：

則有：

即：，

解得a＝﹣5，a＝2（不合題意，舍去），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，﹣14）；

如圖二所示，

當(dāng)P在y軸右邊，,并且有：

則有：

即：，

解得a＝﹣5（不合題意，舍去），a＝2，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，﹣14）或（2，0）．