Question

探究學習：探索勾股定理時，我們發現“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和（或差）的有關問題，這種方法稱為面積法．請你運用面積法求解下列問題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高（如圖1）．
（1）若等腰△ABC的面積為24 cm²，腰的長為8 cm，則腰AC上的高BD的長為

 

cm；
（2）若BD=h，M是直線BC上的任意一點，M到AB、AC的距離分別為h₁、h₂．
①若M在線段BC上，請你結合圖2證明：h₁+h₂=h；
②當點M在BC延長線上時，h₁、h₂、h之間的關系為

 

．（直接寫出結論，不必證明）

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式可得，腰AC上的高BD=面積÷AC×2；
（2）過M作MG⊥BD，交BD與點G，則可證MF=DG；再證△BME≌△MBG，得BG=ME．即BD=BG+DG=ME+MF；
（3）可采用和（2）類似的方法，畫圖作輔助線，經過證明三角形全等，得出h₁-h₂=h．

解答：解：（1）∵S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×8×BD=24，
∴BD=24÷8×2=6；

（2）
①過M作MG⊥BD，交BD與點G，則MF=DG，MG∥CD，
∴∠GMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠GMB=∠ABC，
又∵∠MGB=∠BEM=90°，BM=MB，
∴△BME≌△MBG（AAS），
∴BG=ME．
即BD=BG+DG=ME+MF，
∴h₁+h₂=h；

②|h₁-h₂|=h．

點評：此題綜合性較強，考查了三角形的面積、全等三角形的判定等知識點，要熟練掌握并靈活應用這些知識．