Question

【題目】如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE=，MN=．

（1）求∠COB的度數；

（2）求⊙O的半徑R；

（3）點F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）5；（3）6個，5：1．

【解析】

試題分析：（1）由AE與圓O相切，根據切線的性質得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數即可求出所求角的度數；

（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數定義求出CE的長，再由OB垂直于MN，由垂徑定理得到B為MN的中點，根據MN的長求出MB的長，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用銳角三角函數定義表示出OC，用OE﹣OC=EC列出關于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；

（3）把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合，在EF的同一側，這樣的三角形共有3個．延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示，由第二問求出半徑，的長直徑ED的長，根據ED為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由∠FDE為30°，利用銳角三角函數定義求出DF的長，表示出三角形EFD的周長，再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比．

試題解析：（1）∵AE切⊙O于點E，∴AE⊥CE，又OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，∵OB⊥MN，∴B為MN的中點，又MN=，∴MB=MN=，連接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴OB==，在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°==，∴BO=OC，∴OC=OB=，又OC+EC=OM=R，∴R=+3，整理得：，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5，則R=5；

（3）以EF為斜邊，有兩種情況，以EF為直角邊，有四種情況，所以六種，畫直徑FG，連接EG，延長EO與圓交于點D，連接DF，如圖所示：

∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30°，∴FD=，則C△EFD=5+10+=15+，由（2）可得C△COB=，∴C△EFD：C△COB=（）：（）=5：1．

∵EF=5，直徑FG=10，可得出∠FGE=30°，∴EG=，則C△EFG=5+10+=15+，∴C△EFG：C△COB=（）：（）=5：1．