Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G, AC與BG的交點為M．求證：EM:DM=CG:AC；

(3)在(2)小題的條件下，當AB=4，AD=時，求四邊形ABGF的面積．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF成立，理由見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，根據角邊角關系證出△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得BD＝CF；

（2）先設BG交AC于點M，根據（1）證出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM＝∠GCM，又根據對頂角相等，得出△BMA∽△CMG，再根據根據相似三角形的對應角相等，可得∠BGC＝∠BAC＝90°，即可證出BD⊥CF；

（3）首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數值相等，可求得AM的值，從而求出CM的值．

解（1）BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴BD=CF ．

（2）證明：設BG交AC于點M．

∵△BAD≌△CAF（已證），

∴∠ABM=∠GCM．

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG．

∴,

∵AB=AC

∴．

(3)過點F作FN⊥AC于點N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴AE==2，

∴AN=FN=AE=1，

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC==4，

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=，

∴AM=AB=，

∴EM=AE﹣AM=4﹣．