Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E為射線BC上一點，DF⊥AE于F，連結DE．

（1）當E在線段BC上時

①若DE=5，求BE的長；

②若CE=EF，求證：AD=AE；

（2）連結BF，在點E的運動過程中：

①當△ABF是以AB為底的等腰三角形時，求BE的長；

②記△ADF的面積為S1，記△DCE的面積為S2，當BF∥DE時，請直接寫出S1：S2的值．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝2；②證明見解析；（2）①BE＝2；②S1：S2＝1

【解析】（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，由勾股定理求得CE的長，即可求得BE的長；

②證明△CED≌△DEF，可得∠CED＝∠FED，從而可得∠ADE＝∠AED，即可得到AD＝AE；

（2）①分兩種情況點 E 在線段 BC 上、點 E 在 BC 延長線上兩種情況分別討論即可得；

②S1：S2＝1，當 BF//DE 時，延長 BF 交 AD 于 G，由已知可得到四邊形 BEDG 是平行四邊形，繼而可得S△DEF＝S平行四邊形 BEDG，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四邊形 BEDG，S△ABG＝S△CDE，根據面積的知差即可求得結論.

（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，

BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，

∵DE＝5，

∴CE＝=3，

∴BE＝BC-CE=5-3=2；

②在矩形 ABCD 中，∠DCE＝90°，AD//BC，

∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE，

∵CE＝EF，DE＝DE，

∴△CED≌△DEF（HL），

∴∠CED＝∠FED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE；

（2）①當點 E 在線段 BC 上時，AF＝BF，如圖所示：

∴∠ABF＝∠BAF，

∵∠ABF＋∠EBF＝90°，

∠BAF＋∠BEF＝90°，

∴∠EBF＝∠BEF，

∴EF＝BF ，∴AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝5，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，

∴CE＝3，

∴BE＝5－3＝2；

當點 E 在 BC 延長線上時，AF＝BF，如圖所示，

同理可證 AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝5，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，

∴CE＝3，

∴BE＝5＋3＝8，

綜上所述，可知BE=2或8；

②S1：S2＝1，解答參考如下：

當 BF//DE 時，延長 BF 交 AD 于 G，

在矩形 ABCD 中，AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，

∠BAG＝∠DCE＝90°，

∵BF//DE，

∴四邊形 BEDG 是平行四邊形，

∴BE＝DG，S△DEF＝S平行四邊形 BEDG，

∴AG＝CE，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四邊形 BEDG，

∴△ABG≌△CDE，

∴S△ABG＝S△CDE，

∵S △ABE＝ S平行四邊形 BEDG，

∴S△ABE＝S△BEF＋S△DFG，

∴S△ABF＝S△DFG，

∴S△ABF＋S△AFG＝S△DFG＋S△AFG即 S△ABG＝S△ADF，

∴S△CDE＝S△ADF，即 S1：S2＝1.