Question

已知關于x的方程：x2-(m-2)x-

m2

4

=0
（1）求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根；
（2）若這個方程的兩個實根x₁、x₂滿足x₂-x₁=2，求m的值及相應的x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）由于題目證明無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根，所以只要證明方程的判別式是非負數即可；
（2）首先利用根與系數的關系可以得到x₁+x₂，x₁•x₂，然后把x₂-x₁=2的兩邊平方，接著利用完全平方公式變形就可以利用根與系數的關系得到關于m的方程，解方程即可解決問題．

解答：（1）證明：∵△=[-(m-2)]2-4×(-

m2

4

)=2m²-4m+4=2（m-1）²+2，
∵無論m為什么實數時，總有2（m-1）²≥0，
∴2（m-1）²+2＞0，
∴△＞0，
∴無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根；

（2）解：∵x₂-x₁=2，
∴（x₂-x₁）²=4，而x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=-

m2

4

，
∴（m-2）²+m²=4，
∴m=0或m=2；
當m=0時，解得x₁=-2，x₂=0；
當m=2時，解得x₁=-1，x₂=1．

點評：此題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系及判別式，首先證明判別式是非負數解決第一問，然后利用根與系數的關系和已知條件解決第二問．