Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求拋物線的對稱軸及線段AB的長；
（2）拋物線的頂點為P，若∠APB=120°，求頂點P的坐標及a的值；
（3）若在拋物線上存在一點N，使得∠ANB=90°，結合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）．

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，AB=4

（2）

解：如圖1所示：

設拋物線的對稱軸與x軸交于點H．

∵∠APB=120°，AB=4，PH在對稱軸上，

∴AH=2，∠APB=60°．

∴PH= ．

∴點P的坐標為（﹣1，﹣ ）．

將點P的坐標代入得：﹣ =﹣4a，解得a=

（3）

解：如圖2所示：以AB為直徑作⊙H．

∵當∠ANB=90°，

∴點N在⊙H上．

∵點N在拋物線上，

∴點N為拋物線與⊙H的交點．

∴點P在圓上或點P在圓外．

∴HP≥2．

∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a．

∴HP=4a．

∴4a≥2，解得a≥ ．

∴a的取值范圍是a≥

【解析】（1）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，解關于x的方程可求得點A和點B的橫坐標，然后可求得AB的長，利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸方程；（2）如圖1所示，利用拋物線的對稱性可知：AH=2，∠APB=60°，然后可求得PH= ，從而可的點P的坐標，最后將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值；（3）以AB為直徑作⊙H，則點N在⊙H上，當點P在⊙H上或點P在⊙H外時，∠ANB=90°，故此HP≥2，接下來，依據HP≥2列不等式求解即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．