Question

大家知道，因式分解是代數中一種重要的恒等變形．應用因式分解的思想方法有時能取得意想不到的效果，如化簡：

1

1×22 + 12×2

=

1×22 - 12×2

( 1×22 + 12×2) ( 1×22 - 12×2 )

=

1×22 - 12×2

1×22-12×2

=1-

2

2

1

2×32 + 22×3

=

2×32 - 22×3

( 2×32 + 22×3 )( 2×32 - 22×3 )

=

2×32 - 22×3

2×32-22×3

=

2

2

-

3

3

…
（1）從以上化簡的結果中找出規(guī)律，直接寫出用n（n是正整數）表示上面規(guī)律的式子．
（2）根據以上規(guī)律，計算

1

1×22 + 12×2

+

1

2×32 + 22×3

+

1

3×42 + 32×4

+…+

1

9×102 + 92×10

．

Answer 1

分析：（1）先分母有理化，再化簡即可得出規(guī)律；
（2）根據（1）的規(guī)律采用抵消法即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)2 + n2(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

；

（2）原式=1-

2

2

+

2

2

-

3

3

+

3

3

-

4

4

+…+

9

9

-

10

10

=1-

10

10

．

點評：考查了因式分解的應用和二次根式的混合運算，關鍵是掌握

1

n(n+1)2 + n2(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

的規(guī)律．