Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，點E時的中點，過點A作⊙O的切線交BD的延長線于點F．連接AE并延長交BF于點C．

（1）求證：AB＝BC；

（2）如果AB＝10．tan∠FAC＝，求FC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）FC＝．

【解析】

（1）連接EB，可得BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE，再證ABECBE，即可得到結論；

（2）易得∠FAC＝∠ABE，從而得＝，設AE＝x，則BE＝2x，可得AC＝4，BE＝4，作CH⊥AF于點H，易證Rt△ACH∽Rt△BAE，可得HC＝4，AH＝8，由HC∥AB，得＝，進而即可求解．

（1）連接EB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵點E為AD弧的中點，

∴∠ABE＝∠CBE，

在ABE與CBE中，

∵，

∴ABECBE（ASA），

∴BA＝BC；

（2）∵AF為切線，

∴AF⊥AB，

∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE，

∴tan∠ABE＝tan∠FAC＝，

∵在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，

∴設AE＝x，則BE＝2x，

∴AB＝x，即x＝10，解得：x＝2，

∴ABECBE，

∴AC＝2AE＝4，BE＝4，

作CH⊥AF于點H，

∵∠HAC＝∠ABE，

∴Rt△ACH∽Rt△BAE，

∴＝＝，即＝＝，

∴HC＝4，AH＝8，

∵HC∥AB，

∴＝，即＝，

解得：FC＝．