Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①求點M和點N的坐標；

②在拋物線的對稱軸上找一點Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，請直接寫出點Q的坐標；

③是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①N（，3）；②Q（，6）；③不存在，理由見解析；（4）y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①函數的對稱軸為：x=-=，故點M（，），即可求解；

②設拋物線與x軸左側的交點為R（-1，0），則點A與R關于拋物線的對稱軸對稱，連接RB并延長交拋物線的對稱軸于點Q，則點Q為所求，即可求解；

③四邊形MNPD為菱形，首先PD=MN，即（-2x2+2x+4）-（-2x+4）=，解得：x=或（舍去），故點P（，1），而PN==≠MN，即可求解；

（2）分∠DBP為直角、∠BDP為直角兩種情況，分別求解即可．

（1）①函數的對稱軸為：x＝﹣＝，故點M（，），

當x＝時，y＝﹣2x+4＝3，故點N（，3）；

②設拋物線與x軸左側的交點為R（﹣1，0），則點A與R關于拋物線的對稱軸對稱，

連接RB并延長交拋物線的對稱軸于點Q，則點Q為所求，

將R、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線RB的表達式為：y＝4x+4，

當x＝時，y＝6，

故點Q（，6）；

③不存在，理由：

設點P（x，﹣2x+4），則點D（x，﹣2x2+2x+4），

MN＝﹣3＝，

四邊形MNPD為菱形，首先PD＝MN，

即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），

故點P（，1），而PN＝=≠MN，

故不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）當點P的橫坐標為1時，則其坐標為：（1，2），此時點A、B的坐標分別為：（2，0）、（0，4），

①當∠DBP為直角時，以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似，

則∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，則sinα＝，

PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，

則PD＝＝，故點D（1，）；

②當∠BDP為直角時，以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似，

則BD∥x軸，則點B、D關于拋物線的對稱軸對稱，故點D（1，4），

綜上，點D的坐標為：（1，4）或（1，），

將點A、B、D的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2+bx+c，

解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．