Question

【題目】如圖1，已知⊙O的半徑為1，∠PAQ的正切值為，AQ是⊙O的切線，將⊙O從點A開始沿射線AQ的方向滾動，切點為A'．

（1）sin∠PAQ= ，cos∠PAQ= ；

（2）①如圖1，當⊙O在初始位置時，圓心O到射線AP的距離為 ；

②如圖2，當⊙O的圓心在射線AP上時，AA'= ；

（3）在⊙O的滾動過程中，設A與A'之間的距離為m，圓心O到射線AP的距離為n，求n與m之間的函數關系式，并探究當m分別在何范圍時，⊙O與射線AP相交、相切、相離．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）①；②；（3）n=，當0≤m＜時，⊙O與AN相交，當m=時，⊙O與AN相切，當m＞時，⊙O與AN相離．

【解析】試題分析：（1）依據銳角三角函數的定義可求得sin∠PAQ、cos∠PAQ的值；

（2）①過點O作OB⊥AP，垂足為B．依據同角的余角相等可證明∠AOB=∠QAP，然后依據銳角三角函數的定義可求得OB的長；②連接OA′．由切線的性質可知∠OA′A=90°，接下來，依據銳角三角函數的定義可求得AA′的長；

（3）當0＜m＜2時，如圖3所示：連接OA′，過點O作OH⊥AP，垂足為H．在Rt△OGH中，在Rt△AA′G中，依據銳角三角函數的定義可得到OG=n、GA′=m，然后依據OG+GA′=1可得到n與m之間的函數關系式；當m＞2時，如圖2所示，過點O作OH⊥AP，垂足為H，連接A′O并延長交AP與點G．依據銳角三角函數的定義可知OG=n、，GA′=m，由GA′﹣OG=1可得到n與m之間的函數關系式；接下來，依據d和r的關系可求得當直線AP與⊙O相切，相交、相離時m的取值范圍．

試題解析：

解：（1）∵∠PAQ的正切值為，

∴sin∠PAQ==，cos∠QAQ==．

故答案為： ,．

（2）①如圖1所示：過點O作OB⊥AP，垂足為B．

∵AQ是⊙O的切線，

∴OA⊥AQ，

∴∠OAP+∠PAQ=90°，

∵OB⊥AP，

∴∠OAP+∠AOB=90°，

∴∠AOB=∠PAQ，

∴=cos∠PAQ=，

∵OA=1，

∴OB=，

∴圓心O到射線AP的距離為.

②如圖2所示：連接OA′，

∵⊙O與AQ相切，

∴OA′⊥AQ，

∴∠OA′A=90°，

∴=tan∠A，

∴AA′=2.

故答案為：2．

（3）當0≤x≤2時，如圖3所示：連接OA′，過點O作OH⊥AP，垂足為H．

∵在Rt△OGH中，cos∠O==，

∴OG=n,

∵在Rt△AA′G中，tan∠A==，

∴GA′=m，

∵OG+GA′=1，

∴n+m=1，

∴n=﹣m+．

②當x＞2時，如圖2所示，過點O作OH⊥AP，垂足為H，連接A′O并延長交AP與點G．

∵∠HGO=∠AGA′，∠GA′A=∠OHD=90°，

∴∠HOG=∠PAQ,

∴OG=n，GA′=m,

由GA′﹣OG=1得，n=m- ,

綜上所述，n與m的函數關系式為n=.

∵當n=1時，⊙O與AP相切，此時m- =1，解得m=+，

∴當0≤m＜+時，⊙O與AN相交，

當m=+時，⊙O與AN相切；

當m＞+時，⊙O與AN相離．