Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內切圓⊙0與BC、CA、AB分別切于點D、E、F．
（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半徑；
（2）若⊙0的半徑為r，△ABC的周長為ι，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE、OD、OC、OB、OF、OA，由勾股定理求出AC=30cm，由三角形面積公式得出

1

2

（AC+BC+AB）R=

1

2

AC×BC，代入求出即可；
（2）連接OE、OD、OC、OB、OF、OA，⊙O半徑是r，則OE=OD=OF=r，由三角形面積公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO，代入求出即可．

解答：解：（1）連接OE、OD、OC、OB、OF、OA，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=40cm，AB=50cm，
由勾股定理得：AC=30cm，
設⊙O半徑是R，則OE=OD=OF=R，
∵⊙O是△ACB的內切圓，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∴由三角形面積公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO=

1

2

（AC+BC+AB）R=

1

2

AC×BC，
∴（40+30+50）R=30×40，解得R=10cm，
即⊙0的半徑為10cm；

（2）連接OE、OD、OC、OB、OF、OA，
⊙O半徑是r，則OE=OD=OF=r，
∵⊙O是△ACB的內切圓，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，
∵△ABC的周長為l，
∴AC+BC+AB=l，
∴由三角形面積公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO
=

1

2

×AC×r+

1

2

×BC×r+

1

2

×AB×r=

1

2

（AC+BC+AB）×r
=

1

2

lr，
即△ABC的面積是

1

2

lr．

點評：本題考查了三角形的內切圓，三角形的面積，勾股定理的應用，注意：如果R為三角形ABC的內切圓的半徑，則三角形ABC的面積為

1

2

（AC+BC+AB）R．