Question

【題目】某商場銷售一種成本為每件30元的商品，銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似看作一次函數y＝－10x＋600，商場銷售該商品每月獲得利潤為w（元）．
（1）求w與x之間的函數關系式；
（2）如果商場銷售該商品每月想要獲得2000元的利潤，那么每月成本至少多少元？
（3）為了保護環境，政府部門要求用更加環保的新產品替代該商品，商場銷售新產品，每月的銷量與銷售價格之間的關系與原產品的銷售情況相同，新產品的成本每件32元，若新產品每月的銷售量不低于200件時，政府部門給予每件4元的補貼，試求定價多少元時，每月銷售新產品的利潤最大？求出最大的利潤。

Answer 1

【答案】
（1）解：w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000
（2）解：由題意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，解得：x1=40，x2=50，當x=40時，成本為30×（﹣10×40+600）=6000（元），當x=50時，成本為30×（﹣10×50+600）=3000（元），∴每月想要獲得2000元的利潤，每月成本至少3000元
（3）解：當y＜200時，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，∵a=﹣10＜0，x＞40，∴當x=46時，w最大值=1960（元）；
當y≥200時，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，∵a=﹣10＜0，∴拋物線開口向下，當32＜x≤40時，w隨x的增大而增大，∴當x=40時，w最大值=2400（元），∵1960＜2400，∴當x=40時，w最大．
答：定價每件40元時，每月銷售新產品的利潤最大，最大利潤為2400元．
【解析】（1）利用利潤法則：單件利潤銷量=利潤，可列出函數表達式；（2）根據函數關系式的特殊值，列出方程，解方程求出結果；（3）根據銷量進行分類討論，分別列出分段函數，在自變量的取值范圍內，根據二次函數的單調性，求出最值.