Question

下面有三個命題：①五邊形至少有兩個鈍角，②十二邊形共有54條對角線，③內角和等于外角和的多邊形的邊數為4．其中正確命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①五邊形內角和為540度，五個角平分，一個角為108度，可以都為鈍角．又因外角和為360度，所以5個外角中不能有4個或5個鈍角，外角中至多有3個鈍角，即內角中最多有3個銳角，至少有2個鈍角．
②多邊形有n條邊，則經過多邊形的一個頂點的所有對角線有（n-3）條，n邊形共有

n(n-3)

2

條對角線，根據以上關系直接計算即可．
③多邊形的內角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，從而可根據外角和等于內角和列方程求解．

解答：解：①∵五邊形外角和為360度，
∴5個外角中不能有4個或5個鈍角，外角中至多有3個鈍角，即內角中最多有3個銳角，至少有2個鈍角．
故五邊形至少有兩個鈍角是正確的；
②十二邊形從一個頂點出發可引出12-3=9條對角線，所有對角線的條數有

12(12-3)

2

=54條．
故十二邊形共有54條對角線是正確的；
③設所求n邊形邊數為n，
則360°=（n-2）•180°，
解得n=4．
故內角和等于外角和的多邊形的邊數為4是正確的．
故正確命題的個數為3．
故選D．

點評：本題考查多邊形的內角和與外角和、方程的思想．關鍵是記住內角和的公式與外角和的特征，多邊形的邊數與對角線的關系式是解決此類問題的關鍵．