Question

（2013•許昌一模）某次數學課上，老師出示了一道題，如圖1，在邊長為4等邊三角形ABC中，點E在AB上．

AE

AB

=

1

3

．點D在CB的延長線上，且ED=EC，求CD的長．
（1）嘗試探究
在圖1中，過點E作EF∥BC，交AC于點F．先確定線段，AE與BD的大小關系是

AE=BD

，然后求出CD的長為

16

3

．
（2）類比延伸
如圖2，在原題條件下，若

AE

AB

=

1

n

（n＞0），△ABC邊長為m，則CD的長為

mn+m

n

（用含n，m的代數式表示）試寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）易證△AEF是等邊三角形，則可以證明△BDE≌△FEC，即可證得EF=BD，則AE=BD可以證得；
（2）與（1）的證明完全相同，證明BD=AE，則求得BD的長，進而得到CD的長．

解答：解：（1）∵EF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴△AEF是等邊三角形．
∴AE=EF=AF，
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，
∵EF∥BC，
∴∠ECB=∠FEC，
∴∠FEC=∠D，
∵∠AFE=∠ABC=60°，
∴∠EBD=∠CFE，
在△BDE和△FEC中，

∠D=∠FEC ∠EBD=∠CFE BE=CF

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD
又∵AE=EF，
∴AE=BD．
∴BD=AE=

1

3

AB=

4

3

，
則CD=BC+BD=4+

4

3

=

16

3

；


（2）同（1）作EG∥BC，
則BD=AE=

1

n

AB=

m

n

．
∴CD=BC+BD=m+

m

n

=

mn+m

n

．
故答案是：AE=BD，

16

3

；

mn+m

n

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質，證明BD=AE是關鍵．